Question

4．利用图象法求方程的解，体现了数形结合的方法，它是将方程的解看成两个函数图象交点的横坐标．若关于x的方程x²+a-$\frac{4}{x}$=0（a＞0）只有一个整数解，则a的值等于3．

Answer 1

分析 将方程x²+a-$\frac{4}{x}$=0（a＞0）得解看成两函数y=x²+a与y=$\frac{4}{x}$的交点问题，先找出函数y=x²和y=$\frac{4}{x}$的交点坐标，根据平移的性质即可得出方程x²+a-$\frac{4}{x}$=0（a＞0）的解为x=1，将其代入原方程中即可求出a值．

解答 解：将方程x²+a-$\frac{4}{x}$=0（a＞0）得解看成两函数y=x²+a与y=$\frac{4}{x}$的交点问题，画出两函数的图象如图所示．

当x²-$\frac{4}{x}$=0时，解得：x=$\root{3}{4}$，
而y=x²+a（a＞0）可以看成把函数y=x²的图象往上平移a个单位，
∵1＜$\root{3}{4}$＜2，关于x的方程x²+a-$\frac{4}{x}$=0（a＞0）只有一个整数解，
∴x=1．
将x=1代入方程程x²+a-$\frac{4}{x}$=0中，得1+a-4=0，
解得：a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了二次函数的图象以及反比例函数的图象，解题的关键是求出方程x²+a-$\frac{4}{x}$=0（a＞0）的整数解为x=1．本体属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将方程的解转化成函数图象交点的问题，画出函数图象，利用数形结合即可得出结论．