Question

7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径PC⊥AB，连接PA、PB．若sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，则tan∠PAB=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先根据垂径定理得出$\widehat{AP}$=$\widehat{PB}$，故∠PAB=∠PBA=∠ACP，再由圆周角定理得出∠PAC=90°，由sin∠BAC=$\frac{4}{5}$可设CD=4x，则AC=5x，由勾股定理可知AD=3x，故tan∠ACP=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$，由此可得出结论．

解答 解：∵⊙O的直径PC⊥AB，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{PB}$，
∴∠PAB=∠PBA=∠ACP．
∵PC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°．
∵sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴设CD=4x，则AC=5x，由勾股定理可知AD=3x，
∴tan∠ACP=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$，即tan∠PAB=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．