Question

19．如图，直线y=-x+1交x轴于A，交y轴于B，P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．若∠EOF=45°，则k的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先设P（a，b），由直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，可得△AOB为等腰直角三角形，由E和F都在直线y=-x+1上，可求得BE=$\sqrt{2}$a，AF=$\sqrt{2}$b，又易证得△AOF∽△BEO，根据相似三角形的性质即可得k的值．

解答 解：设P（a，b），则OM=a，PM=b，则点E的横坐标为a，F的纵坐标为b，
∵直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，
∴令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），
∵OA=OB=1，且∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠FAO=∠EBO=45°，
又∵E和F都在直线y=-x+1上，
∴点E（a，1-a），点F（1-b，b），
即OM=a，EM=1-a，ON=b，NF=1-b，
∵BE=$\sqrt{{a}^{2}+（1-1+a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，AF=$\sqrt{（1-1-b）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$b，
∵∠EOF=45°，
∴△AOF∽△BEO，
∴AF：BO=AO：BE，
∴AF•BE=BO•AO，
即$\sqrt{2}$a•$\sqrt{2}$b=1×1，
解得ab=$\frac{1}{2}$，
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）中k的值为$\frac{1}{2}$． 
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及点与函数的关系．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．