Question

15．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于点O成中心对称的△A₁B₁C₁．
（2）将△A₁B₁C₁向右平移3个单位，作出平移后的△A₂B₂C₂．
（3）在x轴上求作一点P，使PA₁+PC₂的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到点A、B、C的对应点A₁、B₁、C₁的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标规律得到点A₁、B₁、C₁的对应点A₂、B₂、C₂的坐标，然后描点即可；
（3）作C₂点关于x轴的对称点D，连结DA₁交x轴于P点，利用两点之间线段最短可得此时点P使PA₁+PC₂的值最小，然后利用待定系数法求出线DA₁的解析式，最后求出直线A₁D与x轴的交点即可．

解答 解：（1）如图，△A₁B₁C₁为所作；
（2）如图，△A₂B₂C₂为所作；
（3）作C₂点关于x轴的对称点D，连结DA₁交x轴于P点，
则PA₁+PC₂=PA₁+PD=DA₁，
所以此时点P使PA₁+PC₂的值最小，
设直线DA₁的解析式为y=kx+b，
把A₁（2，-3），D（3，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-3}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=5}\\{b=-13}\end{array}\right.$，
直线DA₁的解析式为y=5x-13，
当y=0时，5x-13=0，解得x=$\frac{13}{5}$，
所以P点坐标为（$\frac{13}{5}$，0）．

点评 本推考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了最短路径的求法．