Question

4．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l₁：y=2x+3，直线l₂：y=2x-3．
（1）分别求直线l₁与x轴，直线l₂与AB的交点坐标；
（2）已知点M在第一象限，且是直线l₂上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）我们把直线l₁和直线l₂上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．

Answer 1

分析 （1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l₁与x轴，直线l₂与AB的交点坐标；
（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；
（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围．

解答 解：（1）直线l₁：当y=0时，2x+3=0，x=-$\frac{3}{2}$
则直线l₁与x轴坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）
直线l₂：当y=3时，2x-3=3，x=3
则直线l₂与AB的交点坐标为（3，3）；

（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，
如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，
∴△APM不可能是等腰直角三角形，
∴点M不存在；
②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，
过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，
则Rt△ABP≌Rt△PNM，
∴AB=PN=4，MN=BP，
设M（x，2x-3），则MN=x-4，
∴2x-3=4+3-（x-4），
x=$\frac{14}{3}$，
∴M（$\frac{14}{3}$，$\frac{19}{3}$）；
③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，
设M₁（x，2x-3），
过点M₁作M₁G₁⊥OA，交BC于点H₁，
则Rt△AM₁G₁≌Rt△PM₁H₁，
∴AG₁=M₁H₁=3-（2x-3），
∴x+3-（2x-3）=4，
x=2
∴M₁（2，1）；
设M₂（x，2x-3），
同理可得x+2x-3-3=4，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴M₂（$\frac{10}{3}$，$\frac{11}{3}$）；
综上所述，点M的坐标为（$\frac{14}{3}$，$\frac{19}{3}$），（2，1），（$\frac{10}{3}$，$\frac{11}{3}$）；

（3）x的取值范围为-$\frac{2}{5}$≤x＜0或0＜x≤$\frac{4}{5}$或$\frac{11+\sqrt{31}}{5}$≤x≤$\frac{18}{5}$或$\frac{11-\sqrt{31}}{5}$≤x≤2．

点评 考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．