Question

15．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，CF⊥BD，AE⊥AF
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）过H作AH⊥BF，求证：CF=EH．

Answer 1

分析 （1）先证出∠BAE=∠CAF，再由三角形外角的性质得出∠AEB=∠AFC，由AAS即可证明△ABE≌△ACF；
（2）先证明△AEF是等腰直角三角形，得出∠AEH=45°，再证明△AEH是等腰直角三角形，得出EH=AH，然后证明△AHD≌△CFD，得出对应边相等CF=AH，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵CF⊥BD，AE⊥AF，
∴∠EAF=∠BFC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠AEB=∠EAF+∠AFE，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}&{\;}\\{∠AEB=∠AFC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEH=45°，
∵AH⊥BF，
∴∠AHE=∠AHD=90°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△AHD和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠DFC=90°}&{\;}\\{∠ADH=∠CDF}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHD≌△CFD（AAS），
∴CF=AH，
∴CF=EH．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．