Question

【题目】问题发现

（1）如图1，和均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．求证：．

拓展探究

（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点D在边BC上，连接CE

ⅰ）求的度数；

ⅱ）请判断线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．

解决问题

（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，求出线段AC的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）i），ⅱ），理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据SAS可证明△BAD≌△CAE，可得结论；
（2）i）先证明△ABD≌△ACE，得∠ACE=∠B=45°；

ⅱ）由△ABD≌△ACE，得BD=CE，利用等边三角形的AC=BC=BD+DC等量代换可得结论；
（3）过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，证明△ACF是等腰直角三角形，则利用（2）的结论求AC的长．

（1）∵和为等边三角形，

∴，，，

∴，即，

∴，

∴；

（2）i）和均为等腰直角三角形，且，

∴，，

，即，

∴，

∴，

；

ⅱ）；

理由：由ⅰ）得，，

∵，

∴，

∵在等腰中，，

∴；

（3）如解图，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴，

∴是等腰直角三角形，

由（2）得，

∴．