Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC的距离的最大值为，此时点P的坐标为（，）．

【解析】

（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；

（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；

②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．

（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得，解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，

又∵t≠2，

∴不存在；

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

得，解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=PFOB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+；

②∵﹣＜0，

∴当t=时，S取最大值，最大值为．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC=，

∴P点到直线BC的距离的最大值为，

此时点P的坐标为（，）．