Question

2．如图，直线y=2x-6与抛物线y=2x²+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点P在直线AB下方的抛物线上，过P点分别作PM∥x轴交AB于M点，PN∥y轴交AB于N点，以PM、PN为边作矩形PMQN，设点Q的坐标为（m，n）．
（1）求b，c的值；
（2）求m与n的函数关系式；
（3）确定点P的位置，使矩形PMQN的周长最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）先求得点A、B的坐标，然后将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b，c的方程组，解方程组可得到b，c的值；
（2）先得到抛物线的解析式，设P（a，2a²-4a-6），则N（a，2a-6），M（m，2m-6），然后依据与坐标轴平行的直线上点的坐标特点可得到n=2a-6①，2m-6=2a²-4a-6②，然后消去字母a可得到m与n之间的函数关系式；
（3）依据题意可知PM=$\frac{1}{2}$PN，则矩形QMPN的周长=3PN．设P（a，2a²-4a-6），则N（a，2a-6），然后得到PN与a的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）将x=0代入y=2x-6得y=-6，则B（0，-6）．
将y=0代入y=2x-6得：2x-6=0，解得：x=3，则A（3，0）．
将点B和点A的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{18+3b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得：b=-4，c=-6．
（2）∵b=-4，c=-6，
∴抛物线的解析式为y=2x²-4x-6．
设P（a，2a²-4a-6），则N（a，2a-6）．
∵Q（m，n），
∴M（m，2m-6）．
∵PN∥MQ，QA∥MP，
∴n=2a-6①，2m-6=2a²-4a-6②．
由①得：a=$\frac{n+6}{2}$③，m=a²-2a④．
将③代入④得：m=$\frac{1}{4}$n²+2n+3．
（3）∵A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6．
∴tan∠OBA=$\frac{1}{2}$．
∵PN∥OB，
∴tan∠PNM=$\frac{PM}{PN}$=$\frac{1}{2}$．
∴PM=$\frac{1}{2}$PN．
∴矩形QMPN的周长=2×（PM+PN）=2×$\frac{3}{2}$PN=3PN．
设P（a，2a²-4a-6），则N（a，2a-6），PN=2a-6-（2a²-4a-6）=-2（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$．
∴当a=$\frac{3}{2}$时，矩形的周长最大．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）．
∴矩形的最大周长=3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，二次函数的性质得到PN与a的函数关系式是解题的关键．