Question

15．如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点D，E为AC的中点，且AB=8cm，AC=6cm．
（1）求AD的长和sin∠B的值；
（2）连结OE，判断OE与AD是否垂直？为什么？
（3）判断DE是否是⊙O的切线？若是，试求出切线DE的长；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理计算出BC=10cm，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，然后可利用面积法求出AD的长，利用正弦的定义计算sin∠B的值；
（2）先判断DE为Rt△ACD的斜边AC上的中线，则EA=ED，根据线段垂直平分线的逆定理得点E在AD的垂直平分线上，同样可得点O在AD的垂直平分线上，于是可判断OE垂直平分AD，即OE⊥AD；
（3）由EA=ED得∠EDA=∠EAD，由OD=OA得∠ODA=∠OAD，则∠ODE=∠OAE=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；然后根据直角三角形斜边上的中线性质计算DE的长．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=8cm，AC=6cm．
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=10cm，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$AC•AB，
∴AD=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm），
sin∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
（2）OE⊥AD．理由如下：
∵E为AC的中点，
∴DE为Rt△ACD的斜边AC上的中线，
∴EA=ED，
∴点E在AD的垂直平分线上，
∵OD=OA，
∴点O在AD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分AD，
即OE⊥AD；
（3）DE是⊙O的切线．理由如下：
∵EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDA+∠ODA=∠EAD+∠OAD，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴ED⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
DE=$\frac{1}{2}$AC=3cm．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．