题目内容

6．一个表面涂满色的正方体．
（1）现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，问其中三面都涂色的有多少个？两面都涂色的有多少个？只有一面涂色的多少个？各面都没有涂色的有多少个？
（2）现将棱四等分，再把它切开变成若干个小正方体，问其中三面都涂色的有多少个？两面都涂色的有多少个？只有一面涂色的多少个？各面都没有涂色的有多少个？
（3）现将棱n等分，再把它切开变成若干个小正方体，问其中三面都涂色的有多少个？两面都涂色的有多少个？只有一面涂色的多少个？各面都没有涂色的有多少个？

分析 （1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，一面涂色的为中间部分正方体，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体；
（2）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上出去三面涂色的正方体的个数，一面涂色的为中间部分正方体，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体；
（3）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上出去三面涂色的正方体的个数，一面涂色的为中间部分正方体，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体．

解答 解：（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12个； 一面涂色的有6个；各面都没有涂色的有27-8-12-6=1个．
（2）把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个； 一面涂色的有24个；各面都没有涂色的有64-8-24-24=8个．
（3）把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，得到n3个小正方体．观察其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有12（n-2）个； 一面涂色的有6（n-2）2个；各面都没有涂色的有n3-8-12（n-2）-6（n-2）2=n3-6n2+12n-8个．

点评 主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．

练习册系列答案
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③$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x+1}{5}≥\frac{4x+1}{3}-2}\\{11-2（x+5）＜3}\end{array}\right.$．
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C．AB=2，BC=1，∠C=90°，A′B′=4，B′C′=2，∠B′=90°
D．AB=1.5，AC=2，∠A=36°，A′B′=2.1，A′C′=2.8，∠A′=36°

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