Question

【题目】综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．

操作发现

“杨辉”小组的同学用一张钝角三角形纸片，为钝角，进行了如下操作：

第一步：如图1，折出的角平分线；

第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使预点与点重合，拆痕分别与，交于点，；

第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形．

（1）在图4的中利用尺规作出折痕，；

（要求：保留作图痕迹，不写作法）

实践探究

（2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程；

深入探究

（3）“陈景润”小组的同学突发奇想，在“杨辉”小组同学操作的基础上设计了这样一个问题：在图3中，连接，分别交于点，交于点，若，，利用相似三角形的知识可以求出的长．请你写出求解过程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析；（3），过程见解析

【解析】

（1）作∠BAC的角平分线AD与BC交于点D，再做AD的中垂线与AB交于E，与AC交于F即可；

（2）由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线，再通过垂直平分线和角平分线的性质可得，，即可证明四边形是平行四边形，再根据，得证平行四边形是菱形；

（3）连接，通过证明，可得，即，求得，从而得出．

解：（1）如图所示，

（2）菱形，

证明：由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线，

∵是的垂直平分线

∴，，

∴，

∵是的角平分线

∴

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵

∴平行四边形是菱形．

（3）连接，

∵四边形为菱形，

∴垂直平分，

∴点在的垂直平分线上，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.