Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（4，0），B（0，3），动点C从点O出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，过点C作CD∥AB于OA于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，设正方形CDEF与△AOB重合部分图形的面积为y，运动时间为t．
（1）用含t的式子表示E，F两点的坐标；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）过点A，B分别作x铀、y轴的垂线，两垂线交于点H，当正方形的顶点落在AH或BH边上时，求t的值．
（4）在点D向点A运动的过程中，连接AE，BF，分别以CF，DE为对称轴，作△BCF和△ADE的轴对称三角形△B′CF，△A′DE，当1≤A′B′≤4时，直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N，只要证明△CNF≌△DOC，△DOC≌△EMD，推出CN=OD=EM=4t，FN=OC=DM=3t，由此即可解决问题．
（2）分两种情形①当0＜t≤$\frac{12}{37}$时，重叠部分就是正方形CDEF，如图1，②当$\frac{12}{37}$＜t＜1时，重叠部分是四边形CDGH，如图2中，分别求解即可．
（3）分三种情形①如图3中，当点F在BH上时，由△CBF≌△DOC可知BC=OD=4t，列方程求解．②如图4中，当点E在AH上时，由△ADE≌△OCD可得AD=OC=3t，
列方程求解．③当C、D在AH、BH上时，t=1．
（4）分两种情形讨论①当A′在B′上方时，如图5中，②当A′在B′下方时，如图6中，分别列出不等式组即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作EM⊥OA于M，EN⊥OB于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CF，∠FCD=90°，
∴∠FCN+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠FCN=∠CDO，∵∠CNF=∠DOC=90°，
∴△CNF≌△DOC，同理可证△DOC≌△EMD，
∴CN=OD=EM，FN=OC=DM，
∵CD∥AB，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{3t}{3}$=$\frac{OD}{4}$，
∴OD=4t，
∴CN=OD=EM=4t，FN=OC=DM=3t，
∴F（3t，7t），E（7t，4t）．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当点E在AB上时，4t=-$\frac{3}{4}$×7t+3，解得t=$\frac{12}{37}$，
∴当0＜t≤$\frac{12}{37}$时，重叠部分就是正方形CDEF，如图1，S=25t²．
当$\frac{12}{37}$＜t＜1时，重叠部分是四边形CDGH，如图2中，

∵∠A=∠A，∠DGA=∠AOB，
∴△ADG∽△ABO，
∴$\frac{DG}{OB}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DG}{3}$=$\frac{4-4t}{5}$，
∴DG=$\frac{3}{5}$（4-4t），
∴S=5t×$\frac{3}{5}$（4-4t）=-12t²=12t，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{25{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{12}{37}）}\\{-12{t}^{2}+12t}&{（\frac{12}{37}＜t＜1）}\end{array}\right.$．

（3）如图3中，

当点F在BH上时，由△CBF≌△DOC可知BC=OD=4t，
∴3t+4t=3，
∴t=$\frac{3}{7}$，时点F在BH上．
如图4中，

当点E在AH上时，由△ADE≌△OCD可得AD=OC=3t，
∴4t+3t=4，
∴t=$\frac{4}{7}$时，点E在AH上．
当C、D在AH、BH上时，t=1
综上所述，t=$\frac{3}{7}$或$\frac{4}{7}$或1秒时，正方形的顶点落在AH或BH边上．

（4）当A′在B′上方时，如图5中，

A′B′=AA′-5+BB′=$\frac{4}{5}$（4-4t）+$\frac{3}{5}$（3-3t）-5=5-10t，
由题意：1≤5-10t≤4，
解得$\frac{1}{10}$≤t≤$\frac{2}{5}$．
当A′在B′下方时，如图6中，

A′B′=5-AA′-BB′=10t-5，
由题意1≤10t-5≤4，
解得$\frac{3}{5}$≤t$≤\frac{9}{10}$，
综上所述，$\frac{1}{10}$≤t≤$\frac{2}{5}$或$\frac{3}{5}$≤t$≤\frac{9}{10}$时，1≤A′B′≤4．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图象解决问题，学会把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．