Question

【题目】如图，已知抛物线经过，，三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若．

①求直线的解析式；

②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）

【解析】

（1）根据待定系数法求解即可；

（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明△BDO∽△BEG，得到，根据比例关系求出k值即可；

②根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可.

解：（1）∵抛物线经过点，，，代入，

∴，解得：，

∴抛物线表达式为：；

（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，

∵B（4，0），

设直线BD的表达式为：y=k（x-4），

设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入，

得：，解得：，

∴直线AC的表达式为：y=2x+4，

联立：，

解得：，

∴E（，），

∴G（，0），

∴BG=，

∵EG⊥x轴，

∴△BDO∽△BEG，

∴,

∵，

∴，

∴，

解得：k=，

∴直线BD的表达式为：；

②由题意：设P（s，），1＜s＜4，

∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，

∴∠PQR=90°，PQ=RQ，

当点R在y轴右侧时，如图，

分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，

∵∠PQR=90°，

∴∠PQM+∠RQN=90°，

∵∠MPQ+∠PQM=90°，

∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，

∴△PMQ≌△QNR，

∴MQ=NR，PM=QN，

∵Q在抛物线对称轴l上，纵坐标为1，

∴Q（1，1），

∴QN=PM=1，MQ=RN，

则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4，

∴P（2，4）；

当点R在y轴左侧时，

如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，

同理：△PMQ≌△QNR，

∴NR=QM，NQ=PM，

设R（t，），

∴RN==QM，

NQ=1-t=PM，

∴P（，2-t），代入抛物线，

解得：t=或（舍），

∴点P的坐标为（，），

综上：点P的坐标为（2，4）或（，）.