Question

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．点P为线段AC上一点（不与点A、C重合），PH⊥y轴于点H，PQ∥y轴交抛物线于点Q，QG⊥y轴于点G．设点P的横坐标为m．
（1）求a、b的值和直线AC所对应的函数表达式．
（2）用含m的代数式表示矩形PQGH的周长．
（3）当直线AC经过矩形PQGH一边中点时，直接写出此时m的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得Q、P的坐标，根据线段的差，可得PQ的长，PH的长，根据矩形的周长公式，可得答案；
（3）分类讨论：AC经过GQ的中点，AC经过HQ的中点，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴a的值为-1，b的值为-2；
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-3，0）C（0，3）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=x+3；
（2）P（m，m+3），Q（m，-m²-2m+3），PQ=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m，PH=-m，
矩形PQGH的周长为：2（PQ+PH）=2（-m²-3m-m）=-2m²-8m．
（3）当AC经过QG的中点（$\frac{m}{2}$，-m²-2m+3）时，$\frac{m}{2}$+3=-m²-2m+3，
解得m=-$\frac{5}{2}$，m=0（不符合题意，舍）；
当AC经过GH的中点（0，$\frac{-{m}^{2}-m+6}{2}$）时，$\frac{-{m}^{2}-m+6}{2}$=3，
解得m=0（不符合题意，舍）或m=-1，
综上所述：当直线AC经过矩形PQGH一边中点时，m的值为-$\frac{5}{2}$或-1．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用线段的和差得出PQ的长，又利用了矩形的周长公式；（3）利用图象上的点满足函数解析式得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．