Question

19．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²）．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的有（　　）
①AE=6cm；②sin∠EBC=$\frac{4}{5}$；③当0＜t≤10时，y=$\frac{2}{5}$t²；④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据图象可以得到BC和BE的长度，以及DE的长度，根据图2中y的值可以求得CD的长，从而可以得到AE的长，从而可以判断①；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF=CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断②；
根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积，从而可以判断③；
根据题意可以分别求得在t=12时，BQ、QP、PB的长，从而判断④．

解答 解：由图象可知，
BC=BE=10，DE=14-10=4，
∴AD=10，
∴AE=AD-DE=10-4=6cm，故①正确；
作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如下图所示，

由图象可知，三角形PBQ的最大面积为40，
∴$\frac{BC•EF}{2}=\frac{10×EF}{2}=40$，
解得EF=8，
∴$sin∠EBC=\frac{EF}{BE}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，故②正确；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，
∴$\frac{PM}{EF}=\frac{BP}{BE}$，即$\frac{PM}{8}=\frac{t}{10}$，
解得PM=$\frac{4t}{5}$，
∴${S}_{△BPQ}=\frac{BQ•PM}{2}=\frac{t•\frac{4t}{5}}{2}$=$\frac{2}{5}{t}^{2}$，
即$y=\frac{2}{5}{t}^{2}$，故③正确；
当t=12时，BQ=10，PQ=$\sqrt{Q{D}^{2}+D{P}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$，BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{8}^{2}}=8\sqrt{2}$，
∴△BPQ不是等腰三角形，故④错误；
故①②③正确．
故选C．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．