Question

【题目】如图1，已知抛物线交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0）、C，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作于点Q，连接AP（AP不平行x轴）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上运动，若∽（点P与点C对应），求点P的坐标；

（3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将沿AP对折，点Q的对应点为点，当点落在x轴上时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为或；（3）点P的坐标为或

【解析】

（1）根据待定系数法解答即可；

（2）先求出点C坐标，由∽可得，于是设，，当点P在点Q下方时，则，当点P在点Q上方时，则，分别代入抛物线的解析式，求出k后即得点P坐标；

（3）设，当点落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图，则PQ可用含m的代数式表示，易证，则由相似三角形的性质和折叠的性质可得与m的关系式，从而可得与m的关系式，在中，利用勾股定理即可列出关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出点P的坐标．

解：（1）把，分别代入，

得：，解得：，，

∴抛物线解析式为；

（2）如图1，当时，，解得，，∴；

∵∽，∴，

∴，即，

设，，

当点P在点Q下方时，可得，

∴，

解得：，（舍去），此时，

当点P在点Q上方时，则，

∴，

解得：，（舍去），此时；

综上所述，点P的坐标为或；

（3）设，

当点落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图，

则，

∵沿AP对折，点Q的对应点为点，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，解得：，

∴，

在中，由勾股定理得：，

整理得：，解得，，

此时P点坐标为或；

综上所述，点P的坐标为或．