Question

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，0）的直线l：y=mx-3与y轴交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点C是直线l与双曲线y=$\frac{n}{x}$的一个公共点，AB=2AC，直接写出n的值．

Answer 1

分析 （1）将点A坐标代入直线解析式求得m即可；
（2）先求出点B坐标，再分点C在BA延长线上和点C在线段AB上两种情况，利用相似三角形的判定与性质求出点C的坐标即可．

解答 解：（1）∵直线l：y=mx-3过点A（2，0），
∴0=2m-3．
∴$m=\frac{3}{2}$．
∴直线l的表达式为$y=\frac{3}{2}x-3$；

（2）当x=0时，y=-3，
∴点B（0，-3），
如图1，当点C在BA延长线上时，作CD⊥y轴于点D，

则△BAO∽△BCD，
∴$\frac{BA}{BC}$=$\frac{BO}{BD}$=$\frac{OA}{CD}$，即$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{3+OD}$=$\frac{2}{CD}$，
解得：CD=3，OD=$\frac{3}{2}$，
∴点C（3，$\frac{3}{2}$），
则n=3×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$；
如图2，当点C在线段AB上时，作CE⊥y轴于点E，

则△BAO∽△BCE，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{CE}{AO}$=$\frac{BE}{BO}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{CE}{2}$=$\frac{BE}{3}$，
解得：CE=1，BE=3，
∴OE=BO-BE=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$），
则n=-$\frac{3}{2}$，
综上，n=$-\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和相似三角形的判定与性质是解题的关键．