Question

16．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）设OG=3，CD=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义和平角关系得出∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°，由90°的圆周角所对的弦是直径，即可得出结论；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，则OD=OC=r，DG=r-3，由垂径定理得出OD⊥BC，由勾股定理得出CD²-DG²=OC²-OG²，得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，
∴∠1=∠2，∠3=∠EAF，
∵∠1+∠2+∠3+∠EAF=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
∴DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）解：连接OC，如图所示：
设⊙O的半径为r，
则OD=OC=r，DG=r-3，
∵∠1=∠2，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC=∠DGC=90°，
由勾股定理得：CG²=CD²-DG²，CG²=OC²-OG²，
∴CD²-DG²=OC²-OG²，
即（2$\sqrt{5}$）²-（r-3）²=r²-3²，
解得：r=5，或r=-2（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、角平分线的定义等知识；本题综合性强，有一定难度．