Question

8．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且$\widehat{AE}=\widehat{DE}$，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交与点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AG=6，GE=6$\sqrt{2}$，求△GOE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由$\widehat{AE}=\widehat{DE}$知∠1=∠2，由∠2=∠3可证OE∥BF，根据BF⊥GF得OE⊥GF，得证；
（2）设OA=OE=r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r=3，即OE=3，再根据三角形的面积公式得解．

解答 解：（1）如图，连接OE，

∵$\widehat{AE}=\widehat{DE}$，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；

（2）设OA=OE=r，
在Rt△GOE中，∵AG=6，GE=6$\sqrt{2}$，
∴由OG²=GE²+OE²可得（6+r）²=（6$\sqrt{2}$）²+r²，
解得：r=3，
即OE=3，
则S_△GOE=$\frac{1}{2}$•OE•GE=$\frac{1}{2}$×3×$6\sqrt{2}$=9$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．