Question

1．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于D点，交AB于G点，且D是BC的中点，DE⊥AB于E点，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=5，cos∠A=$\frac{2}{5}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；
（2）过C点作CH∥AB于H，则∠HCD=∠B，∠CHD=∠DEB，然后根据AAS证得△DCH≌△DBE，得出CH=BE，根据平行线的性质得出∠FCH=∠A，CH⊥EF，再解Rt△CHF，根据余弦函数的定义得到cos∠FCH=$\frac{CH}{CF}$=cos∠A=$\frac{2}{5}$，从而求得CH的长，得出BE的长．

解答 （1）证明：如图，连结OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；

（2）解：过C点作CH∥AB于H，则∠HCD=∠B，∠CHD=∠DEB，
在△DCH和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HCD=∠B}\\{∠CHD=∠DEB}\\{CD=DB}\end{array}\right.$，
∴△DCH≌△DBE（AAS），
∴CH=BE，
∵CH∥AB，
∴∠FCH=∠A，CH⊥EF，
在Rt△CHF中，cos∠FCH=$\frac{CH}{CF}$=cos∠A，
∴$\frac{CH}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∴CH=2，
∴BE=2．

点评 本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．