Question

16．现用棱长为2cm的小立方体按如图所示规律搭建几何体，图中自上面下分别叫第一层、第二层、第三层…，其中第一层摆放1个小立方体，第二层摆放3个小立方体，第三层摆放6个小立方体…，那么搭建第1个小立方体，搭建第2个几何体需要4个小立方体，搭建第3个几何体需要10个小立方体…，按此规律继续摆放．
（1）搭建第4个几何体需要小立方体的个数为20；
（2）为了美观，需将几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，且喷涂1cm²需用油漆0.2克．
①求喷涂第4个几何体需要油漆多少克？
②如果要求从第1个几何体开始，依此对第1个几何体，第2个几何体，第3和几何体，…，第n个几何体（其中n为正整数）进行喷涂油漆，那么当喷涂完第21个几何体时，共用掉油漆多少克？
【参考公式：①1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$；
②1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，其中n为正整数】

Answer 1

分析 （1）观察图形，发现第1层是1个；第2层是3个，即3=1+2；第3层是6个，即6=1+2+3；第4层1+2+3+4=10个，由此求得搭建第4个几何体需要小立方体的个数为1+3+6+10=20个；
（2）①需要油漆也就是这个图形底面积的5倍，底面的小正方形的个数是1+2+3+…+n，由此当n=4，代入即可得到结果；
②由①的计算规律计算即可．

解答 解：（1）搭建第4个几何体需要小立方体的个数为1+3+6+10=20个；
（2）①5×（1+2+3+4）×2²×0.2=40（克）．
答：喷涂第4个几何体需要油漆40克；
②5×[1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+4+…+19+21）]×2²×0.2
=5×[$\frac{1}{2}$×$\frac{21×（21+1）（21+2）}{3}$]×2²×0.2
=5×1771×4×0.2
=7048（克）．
答：当喷涂完第21个几何体时，共用掉油漆7048克．

点评 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，发现图形变化的规律，得出数字的运算规律解决问题．