Question

18．1×2=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4），
把以上3个等式相加，可得
1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20．
观察以上算式，你发现了什么？用你发现的规律计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+9×10（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

Answer 1

分析 （1）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的$\frac{1}{3}$，然后列出算式进行计算即可得解；
（2）利用（1）的规律得出答案即可．

解答 解：（2）1×2+2×3+3×4+…+9×10，
=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$×（9×10×11-8×9×10）
=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+9×10×11-8×9×10）
=$\frac{1}{3}$×9×10×11
=330；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=$\frac{1}{3}$×（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$×（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$×（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$×[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=$\frac{1}{3}$×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．
故答案为：$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．

点评 此题考查数字的变化规律，利用类比的思想得出变化规律是解题的关键．