Question

【题目】如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中点B与点D是直角顶点，现固定△ABC，而将△ADE绕点A在平面内旋转．

（1）如图1，当点D在CA延长线上时，点M为EC的中点，求证：△DMB是等腰三角形．

（2）如图2，当点E在CA延长线上时，M是EC上一点，若△DMB是等腰直角三角形，∠DMB为直角，求证：点M是EC的中点．

（3）如图3，当△ADE绕点A旋转任意角度时，线段EC上是否都存在点M，使△BMD为等腰直角三角形，若不存在，请举出反例；若存在，请予以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，理由见解析

【解析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM＝DM＝EC，即可得出答案；

（2）根据AAS证明△DFM≌∠MGB，得FM＝BG，DF＝MG，根据线段的和表示EM和MC，可得结论；

（3）线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，作辅助线，构建全等三角形，证明△DFM≌∠MGB（SAS），得BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，再证明∠DMB＝90°，可得结论．

(1)如图1，∵∠EDC=90°，点M为EC的中点，

∴DM=EC．

同理可得：BM=EC．

∴DM=BM，

∴△DMB是等腰三角形；

(2)过点D作DF⊥EA，过点B作BG⊥AC，

∵△ABC和△ADE是两个等腰直角三角形，

∴BG=GC=AG，DF=EF=FA，

∴∠DFM=∠BGM=90°，

∴∠FDM+∠DMF=90°，

∵△DMB是等腰直角三角形，

∴DM=BM，∠DMB=90°，

∴∠BMG+∠DMF=90°，

∴∠FDM=∠BMG，

∴△DFM≌∠MGB(AAS)，

∴FM=BG，DF=MG，

∵BG=GC，DF=EF，

∴FM=GC，MG=EF，

∵EM=EF+FM，MC=MG+GC，

∴EM=MC，

∴点M是EC的中点；

(3)线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，

理由是：取AE中点F，AC中点G，连接FD，FM，BG，GM，

∵点M是EC的中点，点G是AC的中点，

∴GM=AE，GM∥AE，BG⊥AC，∠BGC=90，

∵F是AE中点，

∴AF=AE，DF⊥AE，∠DFE=90，

∴AF∥GM，AF=GM，

∴四边形AFMG是平行四边形，

∴∠AFM=∠AGM，

∴∠EFM=∠MGC．

∵∠DFM=∠EFM+∠DFE=∠EFM+90，

∠BGM=∠MGC+∠BGC=∠MGC+90，

∴∠DFM=∠BGM，

∵GM=AF=DF，

∴DF=GM，

同理可得 BG=FM，

∴△DFM≌∠MGB(SAS)，

∴BM=DM，∠FMD=∠GBM，

∵FM∥AC，

∴∠FMG=∠CGM，

∴∠DMB=∠FMD+∠FMG+∠GMB，

=∠GBM+∠CGM+∠GMB，

=180°﹣∠BGC，

=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形．