Question

如图，AD∥BC，∠D=90°．
（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，试问：点P是线段CD的中点吗？为什么？
（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度数为多少？

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点P作PE⊥AB于E，根据平行线的性质求出∠C=90°，即PC⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，PC=PE，从而得到PC=PD，然后根据线段中点的定义解答；
（2）过点P作PE⊥AB于E，根据平行线的性质求出∠C=90°，即PC⊥BC，利用AAS证明△PBE≌△PBC，得出∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，由PC=PD，等量代换得到PD=PE，再根据HL证明Rt△PAD≌Rt△PAE，得出∠APD=∠APE=55°，那么∠PAD=90°-∠APD=35°．

解答： 解：（1）点P是线段CD的中点．理由如下：
过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=90°，即PC⊥BC，
∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，
∴PD=PE，PC=PE，
∴PC=PD，
∴点P是线段CD的中点；

（2）过点P作PE⊥AB于E，
∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠C=180°-∠D=90°，即PC⊥BC．
在△PBE与△PBC中，

∠PEB=∠C ∠PBE=∠PBC PB=PB

，
∴△PBE≌△PBC（AAS），
∴∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，
∵PC=PD，
∴PD=PE，
在Rt△PAD与Rt△PAE中，

PA=PA PD=PE

，
∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），
∴∠APD=∠APE，
∵∠APD+∠APE=180°-2×35°=110°，
∴∠APD=55°，
∴∠PAD=90°-∠APD=35°．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．