Question

如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点G，E是CD延长线上的一点，连接AE交⊙O于F，连接AC、CF，若AC²=AF•AE．
求证：（1）△ACF∽△AEC；（2）AB⊥CD．

Answer 1

分析：（1）由已知条件AC²=AF•AE，可得出

AC

AF

=

AE

AC

，∠CAF=∠EAC，根据相似三角形的判定得出△ACF∽△AEC
（2）由（1）得出的结论可知∠AFC=∠ACE，连接BC，又得∠AFC=∠ABC，从而得出∠ABC=∠ACE，再根据直径与弦的关系，得出∠ACB=∠ACE+∠BCG=90°，从而推出∠ABC+∠BCG=90°，∠BGC=90°，从而得出AB⊥CD．

解答：证明：（1）∵AC²=AF•AE，
∴

AC

AF

=

AE

AC

，∠CAF=∠EAC．
∴△ACF∽△AEC．

（2）方法一：连接BC，
∵△ACF∽△AEC，
∴∠AFC=∠ACE．
∵∠AFC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCG=90°．
∴∠ABC+∠BCG=90°．
∴∠BGC=90°．
∴AB⊥CD．
方法二：
∵△ACF∽△AEC，
∴∠AFC=∠ACE．
∵∠AFC=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACE．
∴AD=AC，

AD

=

AC

．
∵AB是⊙O的直径，
∴

ADB

=

ACB

．
∴

BD

=

BC

．
∴∠BAD=∠BAC．
∴AB⊥CD．

点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定，难度适中．