Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．

Answer 1

分析 由角平分线的定义和邻补角关系证出∠EAF=90°，再由已知条件和三角形内角和定理以及三角形的外角性质得出∠AEF=45°，即可得出结论．

解答 解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：
∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠FAC=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵∠BAC+∠CAD=180°，
∴∠EAC+∠FAC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAD）=90°，
即∠EAF=90°，
∵∠ACB-∠B=90°，
∴∠ACB=90°+∠B，
∴∠1=90°-∠B=∠B+∠BAC，
∴∠B=$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC），
∴∠4=∠B+∠AEF，
∵AE平分∠DAC，
∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，
∵∠BAC+∠3+∠4=180°，
∴2（∠B+∠AEF）+∠BAC=2[$\frac{1}{2}$（90°-∠BAC）+∠AEF]+∠BAC=180°，
∴∠AEF=45°，
∴∠AFE=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识；本题有一定难度，证出∠AEF=45°是解决问题的关键．