Question

14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=15cm，CB=20cm，以CA为半径的⊙C交AB于D，求AD的长．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=15，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+2{0}^{2}}$=25．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CM，且AC=15，BC=20，AB=25，
∴CM=$\frac{15×20}{25}$=12，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC²=AM²+CM²，即225=AM²+144，
解得：AM=9，
∴AD=2AM=18．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．