Question

12．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，D、E分别是AB，OA中点．过点D的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）与BC交于点G．连接DC，F在DC上，且DF：FC=3：1，连接DE，EF．若△DEF的面积为6，则k的值为（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{32}{3}$
• C． 6
• D． 10

Answer 1

分析 设矩形OABC中OA=2a、AB=2b，由D、E分别是AB，OA中点知点D（b，2a）、E（0，a），过点F作FP⊥BC于点P，延长PF交OA于点Q，可得四边形OCPQ是矩形，即OQ=PC、PQ=OC=2b，证△CFP∽△CDB得$\frac{CP}{CB}$=$\frac{FP}{DB}$=$\frac{CF}{CD}$，可得CP=$\frac{a}{2}$，FP=$\frac{b}{4}$、EQ=EO-OQ=$\frac{a}{2}$、FQ=PQ-PF=$\frac{7b}{4}$，根据S_梯形ADFQ-S_△ADE-S_△EFQ=6求得ab即可得答案．

解答 解：设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，
∵D、E分别是AB，OA中点，
∴点D（b，2a）、E（0，a），
如图，过点F作FP⊥BC于点P，延长PF交OA于点Q，

∵四边形OABC是矩形，
∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°，
∴四边形OCPQ是矩形，
∴OQ=PC，PQ=OC=2b，
∵FP⊥BC、AB⊥BC，
∴FP∥DB，
∴△CFP∽△CDB，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{FP}{DB}$=$\frac{CF}{CD}$，即$\frac{CP}{2a}=\frac{FP}{b}=\frac{1}{4}$，
可得CP=$\frac{a}{2}$，FP=$\frac{b}{4}$，
则EQ=EO-OQ=a-$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$，FQ=PQ-PF=2b-$\frac{b}{4}$=$\frac{7b}{4}$，
∵△DEF的面积为6，
∴S_梯形ADFQ-S_△ADE-S_△EFQ=6，
即$\frac{1}{2}$•（b+$\frac{7}{4}$b）•$\frac{3}{2}$a-$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$b•$\frac{a}{2}$=6，
可得ab=$\frac{16}{3}$，
则k=2ab=$\frac{32}{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出点F的坐标是解题的关键．