Question

【题目】如图，四边形为直角梯形， ， ，．点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连接交于，连接．

(1) 求的面积与运动时间的函数关系式， 并写出自变量的取值范围， 当为何值时，的值最大？

(2)是否存在点，使得为直角三角形?若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

(3) 当为以为底的等腰三角形时，求值．

(4) 是否存在这样的值，使直线将的周长和面积同时平分?若存在，求出值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1），当时，有；（2）或；（3）；（4）存在，当时，直线将的周长和面积同时平分.

【解析】

（1）过点B作BD⊥x轴于D，根据矩形的性质可得BN=PD=t，OD=BC=3，然后根据等腰直角三角形的性质可得,根据三角形面积公式即可求出的面积与运动时间的函数关系式，然后根据题意即可求出t的取值范围，再利用二次函数求最值即可；

（2）根据直角的情况分类讨论，分别找出等量关系列出方程，即可求出t的值；

（3）分别用含t的式子表示出AQ和AM，然后根据等腰三角形的定义列方程，即可求出t的值；

（4）分别求出直线将的周长平分的t值和直线将的面积平分的t值，如果两个t值相等即存在，不相等即不存在．

解：（1）过点B作BD⊥x轴于D

易知：四边形COPN、四边形NPDB和四边形CODB均为矩形

∴BN=PD=t，OD=BC=3

∴AD=OA－OD=1

点M从点O到点A所需时间为：OA÷2=2s，点N从点B到点C所需时间为：BC÷1=3s，

∴

化为顶点式，得，其中-1＜0

∴当时，有

（2）①当时，

∴△AQM为等腰直角三角形

∵QP⊥AM

∴QP为△AQM的中线

解得：

②时，此时M与P重合

∴

解得

综上，或

（3）∵为以为底的等腰三角形

在Rt△AQP中

∵

∴

解得：

（4）面积平分时，即S△APQ=S△AOC

即

解得：或（不符合实际，故舍去）

周长平分时：．

即

解得

综上所述：当时，直线将的周长和面积同时平分．