Question

17．探究，观察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=1$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
（1）请仿照以上的各式的变形方式，对下列各题进行变形探究：
①$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）；②$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；③$\frac{1}{98×100}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）
（2）已知|x-1|+（y-2）²=0，求$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+…+$\frac{1}{（x+2008）（y+2008）}$的值．

Answer 1

分析 （1）把各个分数拆项即可求解；
（2）先根据非负数的性质求得x，y，再利用得出的规律化简原式，抵消合并即可得到结果．

解答 解：（1）①$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）；②$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；③$\frac{1}{98×100}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）；
（2）∵|x-1|+（y-2）²=0，
∴x-1=0，y-2=0，
解得x=1，y=2，
∴$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+…+$\frac{1}{（x+2008）（y+2008）}$
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2009×2010}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）； $\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）．

点评 考查了代数式求值，非负数的性质，在解答中注意观察题目的变化规律，运用规律解答能使运算简便，并且得心应手．