Question

观察下列等式，探究其中的规律：①

1

1

+

1

2

-1=

1

2

，②

1

3

+

1

4

-

1

2

=

1

12

，③

1

5

+

1

6

-

1

3

=

1

30

，④

1

7

+

1

8

-

1

4

=

1

56

，…．
（1）按以上规律写出第⑧个等式：

 

；
（2）猜想并写出第n个等式：

 

；
（3）请证明猜想的正确性．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,分式的加减法

专题：

分析：（1）由算式看一看出三个分数的分子为1，运算符号为+-，第一个数的分母为连续奇数，第二个数的分母为连续偶数，第三个数的分母为连续自然数，由此写出答案即可；
（2）利用（1）的规律写出第n个等式即可；
（3）利用分式的运算计算验证即可．

解答：（1）解：

1

15

+

1

16

-

1

8

=

1

240

；
（2）解：

1

2n-1

+

1

2n

-

1

n

=

1

2n(2n-1)

；
（3）证明：左边=

2n+2n-1-2(2n-1)

2n(2n-1)

=

1

2n(2n-1)

，
右边=

1

2n(2n-1)

．
左边=右边，
所以

1

2n-1

+

1

2n

-

1

n

=

1

2n(2n-1)

．

点评：此题考查数字的变化规律，发现规律，利用规律解决问题．