Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）求线段AB的长；
（2）当t为何值时，MN∥OC？
（3）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1，在Rt△AHB中运用勾股定理就可求出线段AB的长．
（2）过点B作BH⊥OA于H，如图2，易证△AMN∽△AHB，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值．
（3）过点B作BH⊥OA于H，过点N作ND⊥OA于D，如图3，则有AH=3，OC=BH=4，AB=5，OM=AN=t．易证△ADN∽△AHB，利用相似三角形的性质可得AD=

3t

5

，DN=

4t

5

，进而有MD=6-

8t

5

，OD=6-

3t

5

，然后运用割补法得到S=S_△CMN=S_梯形CODN-S_△COM-S_△MDN=

1

2

（4+

4t

5

）•（6-

3t

5

）-

1

2

×4t-

1

2

（6-

8t

5

）•

4t

5

，然后整理并配方就可解决问题．

解答：解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1．

∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），
∴OA=6，OH=3，BH=4，
∴AH=3，
∴AB=

BH2+AH2

=5．
∴线段AB的长为5．

（2）过点B作BH⊥OA于H，如图2，

∵BH⊥OA，CO⊥OA，∴BH∥OC．
∵MN∥OC，∴MN∥BH，
∴△AMN∽△AHB，
∴

AM

AH

=

AN

AB

，
∴

6-t

3

=

t

5

．
解得：t=

15

4

．
∴当t为

15

4

（秒）时，MN∥OC．

（3）过点B作BH⊥OA于H，过点N作ND⊥OA于D，如图3，

则有AH=3，OC=BH=4，AB=5，OM=AN=t．
∵BH⊥OA，ND⊥OA，
∴BH∥ND．
∴△ADN∽△AHB，
∴

AD

AH

=

DN

HB

=

AN

AB

．
∴

AD

3

=

DN

4

=

t

5

，
∴AD=

3t

5

，DN=

4t

5

．
∴MD=6-t-

3t

5

=6-

8t

5

，OD=6-

3t

5

，
∴S=S_△CMN=S_梯形CODN-S_△COM-S_△MDN
=

1

2

（4+

4t

5

）•（6-

3t

5

）-

1

2

×4t-

1

2

（6-

8t

5

）•

4t

5

=

2

5

t²-

16

5

t+12
=

2

5

（t-4）²+

28

5

，其中0≤t≤5．
∵

2

5

＞0，
∴当t=4时，S取到最小值，最小值为

28

5

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识，用到了割补法、配方法等重要的数学方法，有一定的综合性．