Question

3．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，试说明AD=CD的理由．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，作DF⊥BC于F，
所以，∠EDF+∠BAD=180°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠BAD与∠BCD互补，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{∠E=∠CFD=90°}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD=CD．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．