Question

15．直线y=kx+b与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可．

解答 解：（1）∵y=kx+b与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），
∴m=2，n=1，
∴A（2，3），B（6，1），
则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4

（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p（2，0）．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴直线P′A的解析式为y=2x-1，
令y=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
∴P′（$\frac{1}{2}$，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．