Question

如图所示，在平面直角坐标系中，AB交y轴于点C，连接OB．

（1）如图①所示，已知A（-2，0），B（2，4），求△AOB的面积；
（2）如图②所示，点D在x轴上，∠OBD=∠OBC，求

∠BDA-∠BAD

∠BOC

的值；
（3）如图③所示，BM⊥x轴于点M，N在y轴上，∠MNB=∠MBN，点P在x轴上，∠MNP=∠MPN，求∠BNP的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,坐标与图形性质,三角形的面积,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）设∠OBD=∠OBC=x，根据点A、B的坐标求出∠BAD=45°，再求出∠ACO=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BOC，再根据三角形的内角和定理表示出∠BDA，然后代入代数式整理即可得解；
（3）根据点B的坐标求出OM、BM，再求出MN，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠ONM=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠OMN=60°，再根据等腰三角形的性质求出∠MNB，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠MNP，然后根据∠BNP=∠MNB-∠MNP计算即可得解．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（2，4），
∴OA=2，点B到OA的距离是4，
∴△AOB的面积=

1

2

×2×4=4；

（2）设∠OBD=∠OBC=x，
∵A（-2，0），B（2，4），
∴∠BAD=45°，
∴∠ACO=45°，
由三角形的外角性质的，∠BOC=∠ACO-∠OBC=45°-x，
由三角形的内角和定理得，∠BDA=180°-∠BAD-∠ABD=180°-45°-2x=135°-2x，
所以，

∠BDA-∠BAD

∠BOC

=

135°-2x-45°

45°-x

=

90°-2x

45°-x

=2；

（3）∵BM⊥x轴，点B（2，4），
∴OM=2，BM=4，
∴MN=4，
∴MN=2OM，
∴∠ONM=30°，
∴∠OMN=90°-30°=60°，
∵MN=BM，
∴∠MNB=

1

2

（180°-30°）=75°，
∵∠MNP=∠MPN，
∴∠MNP=

1

2

∠OMN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BNP=∠MNB-∠MNP=75°-30°=45°．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等腰三角形的性质，难点在于（2）判断出∠BAD=45°．