Question

【题目】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．

（1）操作发现

如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空：

①线段与的位置关系是______；

②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是______

（2）猜想论证

当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想1．中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点是角平分线上一点，，交于点(如图4)．若在射线上存在点，使，请求出相应的的长．

Answer 1

【答案】（1）操作发现：①DE∥AC；②=；（2）猜想论证：=仍然成立，证明见解析；（3）拓展探究：=或

【解析】

（1）操作发现：①根据直角三角形的性质即可求出∠EDC，然后证出△CAD为等边三角形可得∠DCA=60°，从而得出∠EDC=∠DCA，然后根据平行线的判定即可得出结论；

②根据平行线之间的距离处处相等和同底等高可得S△DAC=，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和等边三角形的性质可得点D为AB的中点，从而证出S△DAC=，即可得出结论；

（2）猜想论证：利用AAS证出△ACN≌△DCM，即可得出AN=DM，然后根据旋转的性质可得EC=BC，然后根据两个三角形等底等高即可得出结论；

（3）拓展探究：延长CD交AB于点H，过点E作EG⊥BD于G，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理分别求出BH和GE，然后根据点F的位置分类讨论，根据两个三角形的面积相等、底相等那么高也相等即可求出FH，从而分别求出BF的长

解：（1）操作发现：①DE∥AC，理由如下：

∵，．

∴∠BAC=90°－∠B=60°，∠EDC=90°－∠DEC=60°

∵点恰好落在边上时，

∴CA=CD

∴△CAD为等边三角形

∴∠DCA=60°

∴∠EDC=∠DCA

∴DE∥AC

故答案为：DE∥AC．

②=，理由如下

∵DE∥AC

根据平行线之间的距离处处相等

∴S△DAC=

在Rt△ABC中，∠B=30°

∴AB=2AC

∵△CAD为等边三角形

∴AC=AD

∴AB=2AD

∴点D为AB的中点

∴S△DAC=

∴=

故答案为：=．

（2）猜想论证：=仍然成立，证明如下

∵AN、DM分别是△ACE、△BCD边上的高

∴∠ANC=∠DMC=90°

∵∠ACN＋∠NCB=90°，∠DCM＋∠NCB=90°

∴∠ACN=∠DCM

在△ACN和△DCM中

∴△ACN≌△DCM

∴AN=DM

∵EC=BC

∴△ACE和△BCD等底等高

∴=

（3）拓展探究：延长CD交AB于点H，过点E作EG⊥BD于G，

∵∠ABC=60°，点是角平分线上一点，，

∴∠HBD=∠CBD=∠ABC=30°

∵

∴∠DCB=∠DBC=30°

∴∠BHC=180°－∠HBC－∠DCB=90°

在Rt△BDH中，HD=，BH=

∵

∴∠EDB=∠HBD=30°

∴∠EBD=∠EDB

∴EB=ED

∴BG==2

在Rt△BEG中，设GE=x，BE=2GE=2x

根据勾股定理可得：GE2＋BG2=BE2

即x 2＋22=（2x）2

解得：x=

∴GE=

（i）当点F在线段BH上时，

∵，

∴FH=GE=

∴BF=BH－FH=；

（ii）当在线段BH的延长线上时

同理可得H= GE=

∴B=BH＋H=

综上所述：=或