题目内容
【题目】△ABC和△CDE都是等腰三角形，∠BAC＝∠EDC＝120°．
（1）如图1，A、D、C在同一直线上时，
＝_______，
＝_______；
（2）在图1的基础上，固定△ABC，将△CDE绕C旋转一定的角度α(0°＜α＜360°)，如图2，连接AD、BE．
① 的值有没有改变？请说明理由．
②拓展研究：若AB＝1，DE＝
，当 B、D、E在同一直线上时，请计算线段AD的长；
【答案】（1）
，；（2）①没有改变，理由见解析；②线段AD的长为
或
．
【解析】
（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得AC＝2AH，CH＝
AH，由平行线分线段成比例可得
，即可求解；
（2）①通过证明△ACD∽△BCE，可得
；②分两种情况进行讨论，（i）如图，当B、D、E在同一直线上，且点D在BE中间时，过点C作CN⊥BE于N，利用直角三角形的性质和勾股定理求出BE＝
，由①的结论可求解；（ii）如图，当 B、D、E在同一直线上，且点B在ED中间时，过点B作BH⊥EC于H，利用勾股定理求出BH＝
，再由①的结论可求解．
解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BH＝CH，
∴AC＝2AH，CH＝
，
∴BC＝2AH，
∵∠BAC＝∠EDC＝120°，
∴AB∥DE，
∴，
故答案为：，；
（2）①没有改变，
理由如下：∵将△CDE绕C旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AB＝AC，DE＝CD，
∴
，且∠BAC＝∠EDC＝120°，
∴△ABC∽△DEC，
∴
，且∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴
的值有没有改变
②（i）如图，当B、D、E在同一直线上，且点D在BE中间时，过点C作CN⊥BE于N，
∵AC＝AB＝1，
∴由（1）可知，BC＝
，
∵∠CDE＝120°，
∴∠BDC＝60°，且CD＝DE＝
，CN⊥BE，
∴DN＝
CD＝
，CN＝
＝
，
∴EC=2CN=
，
∵BN＝
，
∴BE＝
，
∵
，
∴AD＝，
（ii）如图，当 B、D、E在同一直线上，且点B在ED中间时，过点B作BH⊥EC于H，
∵∠BEC＝30°，BH⊥EC，
∴BE=2BH，EH＝
，
∵BC2＝BH2＋HC2，
∴3＝BH2＋
，
∴BH＝，
∴BE＝
∵
∴AD＝．
综上所述，线段AD的长为或．
