Question

【题目】如图1，是的外接圆，是直径，是外一点且满足，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，，求的长；

（3）如图2，当时，与交于点，试写出、、之间的数量关系并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），证明见解析．

【解析】

（1）连接OC，由AB是直径知∠ACB=90°，由OB=OC知∠OCB=∠B，结合∠DCA=∠B得∠DCA=∠OCB，据此可得∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，从而得证；

（2）利用AA定理证得，得，从而求解；

（3）在上截取使，连接、．由AB是直径、∠DAB=45°知∠AEB=90°，据此得△AEB是等腰直角三角形，AE=BE，再证△ECB≌△EFA得EF=EC，据此可知△FEC是等腰直角三角形，从而得出FC＝EC，从而得证．

解：（1）连接，如图1所示：

∵是的直径，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴

，

∴，

∵是半径

∴是的切线；

（2）解：∵

∴

又∵

∴

∴，

即

∴

即的长为；

（3）解：；

理由如下：

在上截取使，连接、，如图2所示：

∵是直径，∴，

∵，∴为等腰直角三角形，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴为等腰直角三角形

∴，

∴．