题目内容
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如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC、BC．（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）通过计算AB、AC、BC的长度判断△ABC的形状．
（3）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA．
分析 （1）利用坐标轴上点的特点确定出点A，B坐标，进而用待定系数法即可得出结论；
（2）求出AB2，AC2，BC2进而利用勾股定理逆定理即可得出结论；
（3）先根据勾股定理得出PA2=4t2+25，QA2=（10-t）2+52．进而建立方程求解即可．
解答 解：（1）设过O、A、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c．
∵直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴点A（5，0）和点B（0，10）．
又∵C点坐标为（8，4），
将O、A、C三点代入抛物线解析式为y=ax2+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{64a+8b+c=4}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{6}$，b=-$\frac{5}{6}$，c=0．
∴所求抛物线解析式为y=$\frac{1}{6}$x2-$\frac{5}{6}$x．
（2）直角三角形，
理由：如图，
由A、B两点的坐标得OA=5，OB=10，
由勾股定理得AB2=OA2+OB2，
∴AB2=125．
过C点作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，
∵C点坐标为（8，4），
∴CD=4，CE=8，BE=10-4=6，AD=8-5=3．
由勾股定理得AC2=CD2+AD2=42+32=25．
∴AC=5．
∵BC2=BE2+CE2=62+82=100，
∴BC2+AC2=100+25=AB2，
∴由勾股定理得∠ACB=90°．
∴△ABC是直角三角形；
（3）由题意得动点运动t秒后，OP=2t，BQ=t，CQ=10-t．
由勾股定理得PA2=OP2+OA2=4t2+25，QA2=QC2+AC2=（10-t）2+52．
∵PA=QA，
∴PA2=QA2．
∴4t2+25=（10-t）2+52．
解得t1=$\frac{10}{3}$，t2=-10．（舍去）．
∴动点运动$\frac{10}{3}$秒时，PA=QA．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理和逆定理，方程的思想，解（1）的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，解（2）的关键是求出AB2，AC2，BC2，解（3）关键是表示出PA2=4t2+25，QA2=（10-t）2+52．
某市“每天锻炼一小时，幸福生活一辈子”活动已开展了一年，为了解该市次项活动的开展情况，某调查统计公司准备采用以下调查方式中的一种进行调查：A．从一个社区随机选取200名居民；B．从一个城镇的不同住宅楼中随机选取200名居民；C．从该市公安局户籍管理处随机抽取200名城乡居民作为调查对象，然后进行调查．
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF，连接DE，BE，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形．