Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点M在BA的延长线上．
（1）按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．
①作∠CAM的平分线AN；
②作AC的中点O，连接BO，并延长BO交AN于点D，连接CD．
（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状．并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）作一个角的平分线和线段的垂直平分线可完成作图；
（2）由AB=AC得∠ACB=∠ABC，由AN平分∠MAC得到∠MAN=∠CAN，则利用三角形外角的性质可得到∠ACB=∠CAD，所以BC∥AD，于是可证明△BOC≌△DOA，得到BC=AD，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD是平形四边形．

解答 解：（1）作∠MAC的角平分线AN，作AC的中垂线得到AC的中点O，连接BO，并延长BO交AN于点D，连接CD，如图；
（2）四边形ABCD是平形四边形，理由如下：
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC，
∵AN平分∠MAC，
∴∠MAN=∠CAN，
∵∠MAC=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=∠CAD，
∴BC∥AD，
∵AC的中点是O
∴AO=CO，
在△BOC和△DOA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCB=∠OAD}\\{OC=OA}\\{∠BOC=∠AOD}\end{array}\right.$
∴△BOC≌△DOA，
∴BC=AD，
而BC∥AD，
∴四边形ABCD是平形四边形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定．