Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5．点D在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，OP=7．
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当∠PDB=90°时，求反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据勾股定理求出OB，即可得出答案；
（2）设D的坐标是（4，y），证△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐标代入求出即可．-

解答：解：（1）∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°，
∴由勾股定理得：OB=3，
即点B的坐标是（0，3），
∵OP=7，
∴线段PB的长是7+3=10；

（2）过D作DM⊥y轴于M，
∵PD⊥BD，
∴∠BDP=∠DMB=∠DMP=90°，
∴∠DBM+∠BDM=90°，∠BDM+∠MDP=90°，
∴∠DBM=∠PDM，
∴△DBM∽△PDM，
∴

DM

BM

=

PM

DM

，
∵OA=4，AD⊥x轴，
∴设D的坐标是（4，y）（y＞0），
∴

4

3-y

=

7+y

4

，
解得：y=1，（y=-5舍去），
即D点的坐标是（4，1），
把D的坐标代入y=

k

x

得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=

4

x

．

点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．