Question

如图1，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（-2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在直线y=kx+n（k≠0）与抛物线交于点M、N，使y轴平分△CMN的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点B（1，0），点（-2，3）代入抛物线y=-x²+bx+c求出b、c的值，进而可得出结论；
（2）假设存在满足条件的直线y=kx+b（k≠0），联立直线与抛物线的解析式得出关于x的一元二次方程，根据要使y轴平分△CMN的面积，则M、N两点的横坐标互为相反数，根据根与系数的关系即可得出k、n应满足的条件；
（3）根据抛物线平移的性质可知抛物线向下平移m个单位后，E为（-1，4-m），C为（0，3-m），故可得出EC=

2

，再根据CO∥EH可知当CO=CE=

2

时，∠CEO=∠COE=∠OCH，根据两点间的距离公式即可得出m的值．

解答：解：（1）将点B（1，0），点（-2，3）代入抛物线y=-x²+bx+c中，得

-1+b+c=0 -4-2b+c=3

，解得

b=-2 c=3

∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）假设存在满足条件的直线y=kx+b（k≠0）．
由题意得，

y=kx+n① y=-x2-2x+3②

①-②得，x²+（k+2）x+n-3=0，③
要使y轴平分△CMN的面积，则M、N两点的横坐标互为相反数，
∴方程③满足

x1+x2=-(k+2)=0 △=(k+2)2-4(n-3)＞0

，
解得k=-2，n＜3．即存在满足条件的直线y=kx+n（k≠0）．

（3）∵抛物线向下平移m个单位后，E为（-1，4-m），C为（0，3-m），
∴EC=

2

．
∵CO∥EH，
∴当CO=CE=

2

时，∠CEO=∠COE=∠OCH，
∴3-m=

2

，或m-3=

2

，即m=3-

2

或m=3+

2

．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与几何变换等知识，难度适中．