Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标是（1，0），点A在点B的左边.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图1，点E为BC的中点，将△BOC沿CE方向进行平移，平移后得到的三角形为△HGF，当点F与点E重合时停止运动.设平移的距离CF=m，记△HGF在直线l：y=x-3下方的图形面积为S，求S关于m的函数解析式；

（3）如图2，连结AC和BC，点M，E分别是AC, BC的中点.点P是线段ME上任一点，点Q是线段AB上任一点.现进行如下两步操作：

第一步：沿三角形CAB的中位线ME将纸片剪成两部分，并在线段ME上任意取一点P，线段AB上任意取一点Q，沿PQ将四边形纸片MABE剪成两部分；

第二步：将PQ左侧纸片绕M点按顺时针方向旋转180°，使线段MA与MC重合，将PQ右侧纸片绕E点按逆时针方向旋转180°，使线段EC与EB重合，拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)

求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值与最大值的和.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-6x+5；（2）S =；（3）最大周长与最小周长的和是.

【解析】

（1）运用待定系数法求解即可；

（2）进行分类讨论：①当0≤m≤时先求出点J的坐标，再求出ΔJHK的面积即可；②当≤m≤时，求出ΔFJK的面积，再求出四边形KGHJ的面积即可；

（3）通过拼图，可求出最大周长和最小周长.

（1）∵已知抛物线y=x2-bx+5与x轴交于A（1，0），代入解析式，得0=12-m+5，

解得：b=6.

∴抛物线解析式为y=x2-6x+5.

（2）如图：

①当0≤m≤时，求得两直线交点J点的坐标，

∴J点的坐标是(4，1).

∴CJ=4，BJ=，

∴JH=+m.

∴S=ΔJHK的面积=

②当≤m≤时，

∵BH=CF=m,BJ=，

∴JH=+m.

∴FJ=-JH=

∴ΔFJK的面积是

S=四边形KGHJ的面积=—= .

（3）拼成的四边形必是平行四边形，如图所示时周长最小，此时拼成的图形是矩形.PQ⊥AB，易求得A(1，0)，B(5，0)，AB=4.ME=2.

∴NT=4，RN=PQ=

∴最小周长=2×（4+）=13.

如图，所示时，周长最大.此时，NT=4，RM=MB=

∴最大周长

∴最大周长与最小周长的和是.