Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.

(1)判断的形状,并说明理由;
(2)如图(1),点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点p作y轴的平行线交x轴于点E.当面积的最大值时,点F为线段BC一点(不与点BC重合),连接EF,动点G从点E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿FC以每秒个单位的速度运动到点C后停止,当点F的坐标是多少时,点G在整个运动过程中用时最少?
(3)如图2,将沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移,记平移后的为连接,直线交抛物线与点M,设平移的时间为t秒,当为等腰三角形时,求t的值.

Answer 1

【答案】（1）是直角三角形；（2）；（3）t的值为或或或

【解析】

(1)结论: 是直角三角形.在中,由,推出,在中,由,推出,可得;
(2)设,作射线CN,使得,作于H, 于G,则,首先求出点P坐标,动点G的运动时间,根据垂线段最短可知,当时,动点G的运动时间最小,由此即可解决问题;
(3)求出直线AM的解析式,利用方程组求出点M坐标,由题意,分三种情形讨论,想办法列出方程即可解决问题;

解:(1)结论:是直角三角形.
理由:如图1中,连接AC.

∵抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,

在中, ,
在中,

是直角三角形.

(2)设,作射线CN,使得,作于H, 于G,
则

则

时, 的面积最大,此时,
∵动点G的运动时间,
根据垂线段最短可知,当时,动点G的运动时间最小,
,
,
在中, , ,,
∴此时F的坐标为

(3)由题意直线BC的解析式为,直线AM的解析式为,
由,解得或,

,
①当时, ,解得或,
②当时, ,解得
③当时, ,解得或 (舍弃),
综上所述,满足条件的t的值为或或或