Question

有n个数，第一个记为a₁，第二个记为a₂，…，第n个记为a_n．若a₁=

1

2

，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想并写出a₂₀₁₄，a₂₀₁₅，a₂₀₁₆的值；
（3）计算：a₁•a₂•a₃•…a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,倒数

专题：

分析：（1）根据a₁=

1

2

和每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”，分别列出算式，再进行计算即可；
（2）根据（1）得出的规律，每三个数循环一次，用2014、2015、2016分别除以3，即可得出答案；
（3）根据得出的规律每三个数循环一次，三个数相乘得（-1）．再看（-1）的个数，即可得出答案．

解答：解：（1）∵a₁=

1

2

，
∴a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）根据（1）的计算可以得到a₁=a₄，则这些数三个数循环一次，
2014÷3=671…1，则a₂₀₁₄=a₁=

1

2

；
2015÷3=671…2，则a₂₀₁₄=a₂=2；
2016÷3=672，则a₂₀₁₄=a₃=-1；

（3）根据题意得：
a₁•a₂•a₃•…a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=

1

2

×2×（-1）×…×

1

2

×2×（-1）=1．

点评：本题考查了数字的变化类，用到的知识点是倒数、有理数的运算，正确理解结果的循环的规律是本题的关键．