题目内容
如图，△ABC中，AB=AC=4| 5 |
| ||
| 5 |
（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：
 |
| DE |
|
| CE |
②求点D到BC的距离．
考点：作图—复杂作图,勾股定理的应用,相似三角形的应用
专题：作图题,证明题
分析：（1）先作出AC的中垂线，再画圆．
（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出
=
；
（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．
（2）边接AE，AE是BC的中垂线，∠DAE=∠CAE，得出
|
| DE |
|
| CE |
（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．
解答：解：（1）如图
（2）如图，连接AE，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴
=
；
（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4
，cosC=
．
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵点A、D、E、C共圆
∴∠ADE+∠C=180°，
又∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△BCA，
∴
=
，即BD•BA=BE•BC
∴BD×4
=4×8
∴BD=
，
∵∠B=∠C
∴cos∠C=cos∠B=
，
∴
=
，
∴BM=
，
∴DM=
=
=
．
（2）如图，连接AE，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴
|
| DE |
|
| CE |
（3）如图，连接AE，DE，作DM⊥BC交BC于点M，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4
| 5 |
| ||
| 5 |
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵点A、D、E、C共圆
∴∠ADE+∠C=180°，
又∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△BCA，
∴
| BD |
| BC |
| BE |
| AB |
∴BD×4
| 5 |
∴BD=
8
| ||
| 5 |
∵∠B=∠C
∴cos∠C=cos∠B=
| ||
| 5 |
∴
| BM | ||||
|
| ||
| 5 |
∴BM=
| 8 |
| 5 |
∴DM=
| BD2-BM2 |
(
|
| 16 |
| 5 |
点评：本题主要考查了复杂的作图，相似三角形以及勾股定理的应用，解题的关键是运用△BDE∽△BCA求出线段的长．
练习册系列答案
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如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
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如图，M为反比例函数y=-5的相反数为（ ）
A、-
| ||
| B、5 | ||
C、
| ||
| D、-5 |