Question

小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB度数．小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．

图1

请回答：图1中∠APB的度数等于 ，图2中∠PP′C的度数等于 ．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC. 当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

Answer 1

（1）∠APB=150°，∠PP′C=90°；（2）y=x+2（x＞0）．

【解析】

试题分析：（1）把AP旋转60°得到AP′连接CP′易证△AP′C≌△APB，△P′PB是直角三角形，

△PP′C是等边三角形．就可求出∠APB=150°，∠PP′C=90°；

（2）如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD．

先证明△AOD是等边三角形再证明△ADC≌△AOB即可求出∠ADC=∠AOB=150°，然后得到∠CDF=30°，设出C的坐标即可求出y与x的关系式.

试题解析：图1中∠APB的度数等于150°，图1中∠PP′C的度数等于90°．

（2）如图，在y轴上截取OD=2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD．

∵点A的坐标为（，1）， ∴tan∠AOE=，

∴AO=OD=2，∠AOE=30°， ∴∠AOD=60°． ∴△AOD是等边三角形．

又∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠CAB=∠OAD=60°，

∴∠CAD=∠OAB， ∴△ADC≌△AOB． ∴∠ADC=∠AOB=150°，又∵∠ADF=120°，

∴∠CDF=30°．∴DF=CF．

∵C（x，y）且点C在第一象限内，

∴y－2=x，

∴y=x+2（x＞0）．

考点：旋转的性质，全等三角形的应用，三角函数.