Question

（1）如图（1），圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的；
（2）如图（2），若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的。

Answer 1

证明：（1）如图（1），连接OA、OC， ∵点O是等边三角形ABC的外心， ∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OCA， S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC， ∵， ∴；
（2）如图（2），连接OA、OB和OC， 则△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2， 设OD交BC于点F，OE交AC于点G， ∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°， ∴∠3=∠5， 在△OAG和△OCF中， ∴△OAG≌△OCF， ∴。