Question

（1）操作：如图1，在线段AB所在的直线上取一点O（O点在线段外），将线段AB绕点O旋转一周，所得到的图形是个圆环（如图2），此圆环的面积就是线段AB所扫过的面积，已知AB=2，OA=1，则线段AB扫过的面积为

 

．

（2）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，若将△ABC绕点A旋转一周，那么边BC扫过的图形为

 

，面积为

 

．
（3）若将图3中的Rt△ABC绕点C旋转一周，则边AB扫过的图形是什么？面积为多少？
（结果中保留π）

Answer 1

分析：（1）线段AB所扫过的圆环的面积为大圆的面积减去小圆的面积，其中大圆半径OB=3，小圆半径OA=1，利用圆的面积公式计算即可；
（2）将△ABC绕点A旋转一周，那么边BC扫过的图形为圆环，它的面积为大圆的面积减去小圆的面积，其中大圆半径AB=4，小圆半径AC=2，利用圆的面积公式计算即可；
（3）Rt△ABC绕点C旋转一周，则边AB扫过的图形是圆环，它的面积为大圆的面积减去小圆的面积，其中小圆半径为C到AB的距离CE=

3

，大圆半径CB=2

3

，利用圆的面积公式计算即可；

解答：解：（1）∵AB=2，OA=1，
∴OB=3，
∴S_圆环=π（OB²-OA²）=π（9-1）=8π；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∵将△ABC绕点A旋转一周，那么边BC扫过的图形为圆环，
∴边BC扫过的图形面积=π（AB²-AC²）=π（4²-2²）=12π；

（3）过C作CE⊥AB，如图，
Rt△ABC绕点C旋转一周，则边AB扫过的图形是以CE和CB为半径的两圆形成的圆环，
∵∠B=30°，AC=2，
∴BC=2

3

，
∴CE=

3

，
∴S_圆环=π（CB²-CE²）=π（12-3）=9π．
故答案为8π；圆环，12π．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了含30的直角三角形三边的关系以及圆的面积公式．